Waarheidstabel

Wat is waarheidstabel:

Waarheidstabel of waarheidstabel is een wiskundig hulpmiddel dat veel wordt gebruikt op het gebied van logisch redeneren. Het doel ervan is om de logische geldigheid van een samengestelde propositie (argument gevormd door twee of meer eenvoudige proposities) te verifiëren.

Voorbeelden van samengestelde proposities:

• John is lang en Maria is kort.
• Pedro is lang of Joana is blond.
• Als Pedro lang is, dan is Joana rood.

Elk van de hierboven gecomponeerde proposities worden gevormd door twee eenvoudige proposities die door de vetgedrukte verbindingslijnen zijn samengevoegd. Elke eenvoudige propositie kan waar of onwaar zijn en dit zal direct de logische waarde van de samengestelde propositie impliceren. Als we de uitdrukking ' John is lang en Mary is laag ' aannemen , zijn de mogelijke waarderingen van deze verklaring:

• Als John lang is en Mary laag, is de uitdrukking "John is lang en Mary is laag" WAAR.
• Als John lang is en Mary niet laag is, is de uitdrukking "John is lang en Mary is laag" ONWAAR.
• Als John niet lang is en Mary laag is, is de uitdrukking "John is lang en Mary is laag" ONWAAR.
• Als John niet lang is en Mary niet laag is, is de uitdrukking "John is lang en Mary is laag" ONWAAR.

De waarheidstabel schematiseert deze zelfde redenering (zie het Conjunctieonderwerp hieronder) meer direct. Bovendien kunnen de waarheidstabelregels worden toegepast, ongeacht het aantal proposities in de zin .

Hoe werkt het?

Verdraai eerst de proposities van de vraag in symbolen die in de logica worden gebruikt. De algemeen gebruikte symboollijst is:

Vervolgens wordt een tabel met alle mogelijkheden voor de waardering van een samengestelde propositie opgesteld, waarbij de affirmaties met symbolen worden vervangen. Het is de moeite waard om te verduidelijken dat in gevallen waar er meer dan twee proposities zijn, deze kunnen worden gesymboliseerd door de letters r, s, enzovoort.

Ten slotte wordt de logische bewerking toegepast die wordt gedefinieerd door de getoonde verbinding. Volgens de bovenstaande lijst kunnen deze operaties zijn: ontkenning, conjunctie, disjunctie, conditioneel en biconditioneel.

ontkenning

Ontkenning wordt gesymboliseerd door ~. De logische werking van ontkenning is de eenvoudigste en verbiedt vaak het gebruik van de waarheidstabel. Volgens hetzelfde voorbeeld, als John groot is (p) om te zeggen dat John niet groot is (~ p) is FALSE, en omgekeerd.

conjunctie

De conjunctie wordt gesymboliseerd door ^ . Het voorbeeld "Johannes is lang en Maria is laag" wordt gesymboliseerd door "p ^ q" en de waarheidstabel zal zijn:

De conjunctie suggereert een idee van accumulatie, dus als een van de simpele proposities onjuist is, is het onmogelijk dat de samengestelde propositie waar is.

Conclusie : conjunctieve samengestelde proposities (die de verbindende e bevatten ) zullen alleen waar zijn als al hun elementen waar zijn.

voorbeeld:

• Paulo, Renato en Tulio zijn aardig en Caroline is grappig. - Als Paulo, Renato of Tulio niet aardig zijn of Carolina niet grappig is, zal de propositie FALSE zijn. Het is noodzakelijk dat alle informatie waar is, zodat de samengestelde propositie WAAR is.

disjunctie

De disjunctie wordt gesymboliseerd door v . De connectiviteit van het bovenstaande voorbeeld uitwisselen of we zullen "John is lang of Mary is laag" hebben. In dit geval wordt de zin gesymboliseerd door "p v q" en de waarheidstabel zal zijn:

De disjunctie impliceert een idee van afwisseling, dus het is genoeg dat een van de eenvoudige proposities waar is, zodat de verbinding ook is.

Conclusie : disjunctieve samengestelde proposities (die de of connectieve bevatten) zullen alleen onwaar zijn als al hun elementen onwaar zijn.

voorbeeld:

• Mijn moeder, mijn vader of mijn oom zal me een geschenk geven. - Voor de verklaring WAAR is, is het genoeg dat slechts één tussen de moeder, vader of oom het heden geeft. De propositie zal alleen ONWAAR zijn als geen van hen het geeft.

voorwaardelijk

Het voorwaardelijke wordt gesymboliseerd door →. Het wordt uitgedrukt door de connectieven zelf en vervolgens, die de eenvoudige proposities in een causale relatie met elkaar verbinden. Het voorbeeld "Als Paulo Carioca is, dan is hij Braziliaans" wordt "p → q" en de waarheidstabel zal zijn:

Voorwaardes hebben een antecedent en een consequente propositie , gescheiden door de connectieve dan . Bij de analyse van conditionals is het noodzakelijk om de gevallen te evalueren waarin de propositie mogelijk is, gezien de relatie van implicatie tussen antecedent en consequent.

Conclusie : Voorwaardelijke samengestelde proposities (die alleen de connectieven bevatten) zullen alleen onwaar zijn als de eerste propositie waar is en de tweede propositie onwaar.

voorbeeld:

• Als Paulo een Carioca is, dan is hij Braziliaan. - Om deze propositie als WAAR te kunnen beschouwen, is het noodzakelijk om de gevallen te evalueren waarin dit MOGELIJK is. Volgens de waarheidstabel hierboven hebben we:

1. Paulo is Braziliaans / Paulo is Braziliaans = MOGELIJK
2. Paulo is carioca / Paulo is geen Braziliaans = ONMOGELIJK
3. Paulo komt niet uit Carioca / Paulo is Braziliaans = MOGELIJK
4. Paulo is geen Carioca / Paulo is geen Braziliaans = MOGELIJK

Biconditional

Het biconditionale wordt gesymboliseerd door ↔. Het wordt als het ware door de connectieven gelezen en alleen als ze de eenvoudige proposities verbinden met een equivalentierelatie. Het voorbeeld "John is blij als en alleen als Maria lacht." wordt "p ↔ q" en de waarheidstabel zal zijn:

De conditio-nele suggereren een idee van onderlinge afhankelijkheid. Zoals de naam zelf laat zien, is de biconditional samengesteld uit twee conditionals: een die vertrekt van p tot q (p → q) en een andere in de tegenovergestelde richting (q → p).

Conclusie : proposities die biconditioneel zijn samengesteld (alleen de connectieven bevatten) zullen alleen waar zijn als alle proposities waar zijn, of alle proposities vals zijn.

voorbeeld:

• John is blij als en alleen als Maria lacht. - Het betekent dat:

1. Als John blij is, lacht Maria en als Maria lacht, is John blij = WAAR
2. Als João niet gelukkig is, glimlacht Maria niet en als Maria niet glimlacht, is João niet gelukkig = WAAR
3. Als John gelukkig is, glimlacht Mary niet = ONWAAR
4. Als John niet gelukkig is, glimlacht Maria = ONWAAR

Algemeen overzicht

Het is gebruikelijk dat geleerden van de waarheidstafel de conclusies onthouden van elk van de logische operaties. Om tijd te besparen bij het oplossen van problemen, moet u er altijd rekening mee houden dat:

1. Conjunctieve proposities: ze zullen alleen waar zijn als alle elementen waar zijn.
2. Disjunctive Propositions: ze zullen alleen onwaar zijn als alle elementen onwaar zijn.
3. Voorwaardelijke proposities: ze zullen alleen onwaar zijn als de eerste propositie waar is en de tweede false.
4. Bicondicional Propositions: Ze zullen alleen waar zijn als alle elementen waar zijn, of alle elementen onwaar zijn.